Les maths dans la vraie vie : La loi de Benford

Dans cet article, nous allons nous intéresser à un phénomène qui concerne les nombres que vous croisez au quotidien. Voici son nom : La loi de Benford. 
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Une loi que vous croisez au quotidien

Ouvrez un magazine ou un journal - cela marcherait avec un livre mais je pense qu’il existe des livres sans chiffre, alors limitons-nous aux magazines et journaux. Regardez les nombres que vous trouvez et intéressez-vous au premier chiffre non nul de chaque nombre que vous croisez. Donc ce premier chiffre doit être entre 1 et 9. Notez ces chiffres dans un coin. Quels sont les résultats ? Votre intuition vous dit sûrement que vous devriez voir à peu près chaque chiffre avec la même fréquence. 

Normalement, si tout se passe bien, vous devriez avoir assez nettement plus de 1 que les autres chiffres. C’est la loi de Benford ! Une histoire d’arrondi ? Même pas ! 
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Intuition du résultat

Si vous relevez beaucoup de chiffres, vous devriez avoir plus de 1 que de 2 que 3 … avec le 9 légèrement moins représenté à la fin. 

Essayons de comprendre intuitivement pourquoi on trouve ce résultat. La raison est la suivante : il est plus compliqué de passer de 1 à 2 que de 2 à 3. Puis il est plus compliqué de passer de 2 à 3 que de 3 à 4. De même pour les autres chiffres. Maintenant qu’est-ce qu’on entend par “plus compliqué” ? Il faut voir cela du côté de la progression des chiffres. Pour passer de 1 à 2, on multiplie par 2. Tandis que pour passer de 2 à 3, on doit multiplier par 3/2, puis 4/3, … C’est cette décroissance qui fait qu’on trouve plus de 1 que de 2. 

C’est quelque chose qu’on voit bien sur l’échelle logarithmique : plus le premier chiffre augmente, plus la taille diminue. C’est ce phénomène là qu’on rencontre au quotidien.

Énoncé de la loi de Benford

La formule est la suivante : la fréquence d'apparition du chiffre i pour i entre 1 et 9 est la suivante : 

Cette formule nous donne alors la répartition suivante sur le graphe : 30,1 % de chances d’avoir 1, 12,5 % de chances d’avoir 2, jusqu’à 4,6% de chances d’avoir 9.  

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A l’époque où on n’utilisait pas ou peu la calculatrice, on utilisait des tables de logarithme pour connaître ses valeurs. Il avait été remarqué que les premières pages, celles du côté du 1 étaient plus abîmées que celles du côté du 9. Un premier article à ce sujet a été publié en 1881 par Newcomb. Il a fallu attendre plus de 50 ans pour que Benford démontre enfin cette loi, qui porte donc son nom. 

Pour avoir plus de chances que cette loi fonctionne, il vaut mieux que les données utilisées soit le plus varié possible. En effet, si vous vous intéressez à des tailles de personnes, vous aurez une fréquence de 1 dépassant allègrement les 30 %. Cette loi va donc fonctionner soit si les données sont de diverses sources, soit si elles sont réparties sur plusieurs ordres de grandeur. Ce n’est pas le cas pour les tailles car elles sont sur une faible plage de grandeur. 

La loi de Benford a aussi une utilité : elle permet de détecter la fraude. Des nombres générés aléatoirement ne vont pas suivre cette loi et peuvent donc permettre de débusquer certaines données falsifiées.